С 1966 по 1973 год Александра Ивановна работала врачом-педиатром в Синявской участковой больнице, а с 1975 по 1980 год занимала должность заведующей таганрогской детской поликлиникой №4.
С 1980 по 1987 год Александра Щегрова работала главным городским педиатров, а в 1994 году стала замначальника управления здравоохранения Таганрога. В этой должности она проработала до 2001 года, после чего вплоть до 2012 года работала замглавврача по медчасти МБУЗ «Детская городская больница».
Александру Щегрову наградили орденом «Знак Почета», а также знаками отличия врач высшей категории, «Отличник здравоохранения», Заслуженный врач России и «Почетный гражданин города Таганрога».
Заслуженного врача РФ похоронили в республике Адыгея 2 сентября.